Экономико-математическое моделирование

Задание 1
Построить векторное поле системы дифференциальных уравнений
x^'=y
y^'=0,1y-y^3-x
Решение
Имеем стационарную точку - 0, 0.


Задание 2
Для производства трех видов продукции используются три вида сырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции, запасы сырья и прибыль указаны в таблице. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении. Указать, какие виды сырья оказались критическими.
Необходимо, чтобы сырье 2 вида было израсходовано полностью.

Решение
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x1+4x2+x3 при следующих условиях-ограничений.
x2+x3≤8
x1+x2=5
2x2+x3≤12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
x2+x3+x4 = 8
x1+x2 = 5
2x2+x3+x5 = 12
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
0 1 1 1 0 8
1 1 0 0 0 5
0 2 1 0 1 12


1. В качестве базовой переменной можно выбрать x1.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,1,5).
Выразим базисные переменные через остальные:
x4 = -x2-x3+8
x1 = -x2+5
x5 = -2x2-x3+12
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 3(-x2+5)+4x2+x3
или
F(X) = x2+x3+15
x2+x3+x4=8
x1+x2=5
2x2+x3+x5=12
При вычислениях значение Fc = 15 временно не учитываем.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x1, x5
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0 = (5,0,0,8,12)
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x4 8 0 1 1 1 0
x1 5 1 1 0 0 0
x5 12 0 2 1 0 1
F(X0) 0 0 -1 -1 0 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x3 8 0 1 1 1 0
x1 5 1 1 0 0 0
x5 4 0 1 0 -1 1
F(X1) 8 0 0 0 1 0
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 5, x2 = 0, x3 = 8
F(X) = 3*5 + 4*0 + 1*8 = 23
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 4.
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.
Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно.
В индексной строке в 2-ом столбце нулевое значение. В столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент.
Задание 3
Некоторый параметр, зависящий их трех факторов, измеряется в 8 точках факторного пространства, данные дублированы (Y1, Y2, Y3).
1. Составьте план полного факторного эксперимента
2. Проверьте на однородность дисперсии в точках эксперимента.
3. Составьте уравнение регрессии, вычислите его коэффициенты
4. Проверьте значимость коэффициентов по Стьюденту. Отсейте незначимые факторы из взаимодействия, откорректируйте уравнение регрессии.
5. Оцените адекватность полученной модели эксперимента по Фишеру.
Решение
X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 Y
0 0 0 77,286 76,134 70,791 74,737
0 0 1 105,704 105,714 103,107 104,8417
0 1 0 55,919 62,088 57,915 58,64067
0 1 1 84,167 81,914 87,947 84,676
1 0 0 59,418 65,805 67,308 64,177
1 0 1 99,554 97,371 101,928 99,61767
1 1 0 94,149 92,796 98,581 95,17533
1 1 1 101,351 105,887 106,509 104,5823
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен