Линейные операторы в конечномерных пространствах

Векторные пространства и тесно связанные с ними линейные отображения (и их частные случаи – линейные операторы) появились в
середине XIX века, а в настоящее время являются очень важными понятиями не только современной алгебры, но и большинства других разделов высшей математики и физики. Такими разделами являются геометрия многомерных пространств, математический анализ, в котором устанавливается, что линейными отображениями являются операция вычисления производной, изучаемая в первом семестре, производная векторной функции векторного аргумента и интегрирование. В физике существует большое количество примеров линейных отображений. Например, в современной квантовой теории физическая величина считается линейным оператором, в отличии от старой ньютоновской физики, в которой физическая величина считается скаляром, а результат её измерения прибором является собственным значением данного оператора. Таким образом, можно утверждать, что:
Актуальность курсовой работы определяется ключевой ролью, прежде всего теории линейных операторов, в функциональном анализе и современной математической физике, а также в экономических и других приложениях функционального анализа.
Поэтому знание и владение основами теории векторных пространств и теории линейных операторов для современного специалиста является таким же важным как знание и владение основами дифференциального и интегрального исчисления.
Цель исследования – описать основные понятия линейных пространств и линейных операторов.
Задачи исследования –
- Дать понятие линейного пространства над полем K;
- Описать понятие и основные свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов;
- Описать понятие базиса и координат вектора в базисе, размерность линейного пространства;
- Описать строение матрицы перехода от базиса к другому базису и её основные свойства. Доказать формулу связи между координатами вектора в различных базисах;
- Описать понятие подпространства линейного пространства и основные виды;
- Описать понятие линейного оператора линейных пространств и его матрицы;
- Описать основные алгебраические операции над линейными операторами;
- Указать преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису;
- Описать понятия собственных значения и собственных векторов линейного оператора;
- Дать понятие характеристического многочлена линейного оператора и описать поиск его собственных значений;
- Описать проблему диагонализации матрицы линейного оператора и её решение.
Объектом исследования является теория конечномерных линейных пространств.
Предмет исследования – линейные операторы конечномерных линейных пространств.
Методами исследования являются анализ имеющейся учебной литературы и классические методы матричной алгебры.
В работе введение, две главы, одна из которых посвящена линейным пространствам, а другая – линейным операторам, заключение и список используемых источников.



Глава 1 Теоретические сведения о линейных пространствах

1.1 Определение и примеры линейных пространств

Определение 1.1 Множество L на элементах которого определены операции сложения «+» и умножения «•» на элементы λ числового поля K, называется линейным пространством над полем ????, а его элементы векторами, если выполняются следующие 8 аксиом:
1) ∀????, ???? ∈ L : ???? + ???? = ???? + ???? (коммутативность сложения векторов);
2) ∀????, ????, ???? ∈ L: (???? + ????) + ???? = ???? + (???? + ????) (ассоциативность сложения векторов);
3) ∃????∈L ∀???? ∈ L: ???? + ???? = ???? (существование нулевого вектора ????);
4) ∀????∈L ∃(−????) ∈ L: ???? + (−????) = ???? (существование противоположного вектора);
5) ∀????, ????∈L, ∀???? ∈ ????: ????•(???? + ????) = ????•???? + ????•???? (дистрибутивность операции умножения вектора на число относительно сложения векторов);
6) ∀???? ∈ L, ∀????, ???? ∈ ????: (???? + ????)•???? = ????•???? + ????•???? (дистрибутивность операции сложения чисел относительно умножения на вектор);
7) ∀???? ∈ L, ∀????, ???? ∈ ????: (????•????)•???? = ????•(????•????) (ассоциативность умножения чисел относительно умножения числа на вектор;
8) если 1 – единичный элемент поля ????, то ∀???? ∈ L: 1•???? = ????.
В дальнейшем вместо линейное пространство будем писать ЛП.
Приведём примеры ЛП.
Пример 1.1 Пусть L = Rn, K = R, где R – множество действительных чисел. В данном случае элементами множества L являются упорядоченные наборы из n действительных чисел, т.е. α=(α_1,α_2,…,α_n ),α_i∈R,
i=1,2,…,n. Сумма векторов и произведение вектора на число определяются равенствами: